Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos

Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos. BBC 142857 é um número famoso, pelo menos em certos círculos... E também bastante brincalhão. Ele começou a chamar a atenção de eminentes matemáticos há séculos e fascinou estudiosos da teoria dos números. Os esotéricos também o apreciaram. Entre seus entusiastas estão ocultistas como Willis F. Whitehead, para quem 142857 era "a expressão numérica da vida, da luz e do amor". Agora no g1 Mas, em um plano mais mundano, tornou-se um clássico da matemática recreativa. Ele se popularizou graças a figuras como Martin Gardner e Shakuntala Devi — a calculadora mental indiana conhecida como a "computadora humana" — que mostraram que qualquer pessoa podia se divertir explorando suas curiosidades. O número chegou inclusive a ter um papel de destaque no romance cult Ratner's Star (A Estrela de Ratner), de 1976, do aclamado autor pós-moderno americano Don DeLillo. Na obra, um grupo de cientistas tenta decifrar o significado de uma mensagem transmitida por uma estrela distante da Via Láctea: esses seis dígitos. Para os mágicos, ele é especialmente atraente porque permite surpreender o público, criando a ilusão de que podem prever o que vai acontecer ou ler mentes, aproveitando suas peculiares propriedades numéricas. Um dos truques que qualquer um de nós pode fazer começa pedindo à pessoa que você quer impressionar que pegue a calculadora do celular e escreva 10101. Depois, sem olhar, diga para ela multiplicar esse número por qualquer número de 1 a 6, dividi-lo por 7 e, em seguida, multiplicá-lo por 99. Com absoluta confiança, declare que o resultado contém exatamente os dígitos 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Mas afinal, o que torna esse número tão peculiar? A razão matemática de seus atrativos Para começar a descobrir o que há de tão surpreendente no 142857, vale a pena multiplicá-lo. Não se preocupe: nós fazemos isso por você — basta observar o resultado. 142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142 Percebeu que todos os resultados contêm os mesmos dígitos, apenas em ordem diferente? Nosso número é composto por seis dígitos e, ao multiplicá-lo por cada número de 1 a 6, obtemos todas as rotações possíveis dessas seis cifras. Essa propriedade incomum o transforma, em termos matemáticos, em um número cíclico — isto é, um número de n dígitos que, ao ser multiplicado por qualquer inteiro de 1 a n, produz como resultado uma rotação de seus próprios dígitos na mesma ordem circular. Mas voltemos a observar as multiplicações, porque há outras peculiaridades. Por exemplo, quando multiplicamos 142857 por 3, o resultado é 428571. É como se os números estivessem ligados por um fio circular invisível: se você cortar esse fio em qualquer ponto, o resultado continua seguindo o padrão no sentido horário. Nesse caso, é como se tivéssemos cortado o fio entre os números 1 e 4, mas os dígitos que seguem o 4 mantêm a mesma ordem, até completar o círculo. Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos. Getty Images via BBC Isso acontece com todos: ao multiplicá-lo por 6, o resultado começa com 8 e continua com os números que aparecem ao girar: 5, 7, 1, 4 e 2. Mas o que acontece se você cruzar o limite e multiplicar 142857 por 7? A magia do 7 Se multiplicarmos 142857 por 7, algo surpreendente acontece: o resultado é 999999. É como se, depois de seis rotações mágicas, o número quisesse continuar nos divertindo. Já que estamos falando de noves, podemos até brincar com suas partes: 14 + 28 + 57 = 99 142 + 857 = 999 1428 + 5714 + 2857 = 9999 Deixamos convenientemente de fora 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 porque dá 27? Sim — embora, se formos fiéis ao padrão de resultados com o mesmo número de dígitos que a soma, 2 + 7 = 9. Outra curiosidade é que, se você inserir um 9 no centro do número, de modo que fique 142 9 857, ao multiplicá-lo por qualquer número de 1 a 6, o produto mantém a natureza cíclica, conservando sempre um 9 no centro. Por que 142857 é um número mágico que fascina os matemáticos há séculos. BBC Voltando a 142857 × 7, o resultado não é casual: está diretamente relacionado ao fato de que 142857 é o período decimal de 1/7, e essa relação explica por que seus dígitos giram com tanta harmonia e por que seu "carrossel" funciona de maneira tão perfeita. Se você dividir 1 por 7, obtém: 1 ÷ 7 = 0,142857142857142857… Os seis dígitos (142857) se repetem indefinidamente. Esse bloco repetitivo é o que, na teoria dos números, se chama período da fração decimal. Agora vem a chave: quando você divide 2, 3, 4, 5 ou 6 por 7, a sequência 142857 reaparece sempre, mas começando em um ponto diferente do ciclo. E então o ciclo se fecha: 7 ÷ 7 = 1 Assim, o 999999 que apareceu quando multiplicamos 142857 por 7 não é coincidência: é o eco desse 1, que em linguagem matemática também pode ser escrito como 0,999999… Se quiser ver isso em um exemplo mais cotidiano, divida o número de dias do ano pelo número de dias da semana: 365 ÷ 7 = 52,142857 Aí está nosso número, precedido por 52, que são as semanas de um ano. Esse 0,142857 adicional equivale a 1 dia. De fato, a cada ano não bissexto, o calendário "avança" um dia da semana. Por exemplo: se um ano começa numa segunda-feira, o seguinte começará numa terça-feira. Se quiser ver essa relação entre 7 e 142857 ao contrário, aqui está: 1 ÷ 142857 = 0,000007000007… Muito além do 7 Será que a brincadeira acaba se passarmos do 7? 142857 × 8 = 1142856 À primeira vista, parece que sim. Mas, se pegarmos o resultado, separarmos o primeiro dígito e o somarmos ao restante, obtemos: 1 + 142856 = 142857 — o número original, começando pelo menor dígito. Pode parecer um pouco forçado, mas acontece que, se continuarmos fazendo o mesmo, o número cíclico aparece repetidamente, começando sempre por seus dígitos em ordem crescente (1, 2, 4, 5, 7, 8): 142857 × 9 = 1285713 → 1 + 285713 = 285714 142857 × 10 = 1428570 → 1 + 428570 = 428571 142857 × 11 = 1571427 → 1 + 571427 = 571428 E assim continua, até chegar a: 142857 × 14 = 1999998 1 + 999998 = 999999 Algo parecido acontece ao multiplicar por 21 (2 999 997 → 2 + 999 997 = 999 999), 28, 35… Enfim, você provavelmente já percebeu o padrão: todos são múltiplos de 7. 142857 - múltiplos de 7 BBC Os matemáticos da matemática recreativa foram ainda mais longe para ver se conseguem voltar ao número original. Um exemplo, entre muitos, é: 142857 × 142857 = 20408122449 Marcando 6 dígitos (n) a partir da direita e somando o restante: 122449 + 20408 = 142857 Se isso parece pouco… 142857 × 6.430.514.712.336 = 918.644.040.260.183.952 E, usando o mesmo método de pegar grupos de 6 dígitos a partir da direita: 183952 + 040260 + 918644 = 1142856 Como o resultado passa de 6 dígitos, fazemos: 1 + 142856 = 142857 Em resumo, por maior ou mais complicada que seja a trajetória, 142857 sempre encontra o caminho de volta. Só eles? Embora 7 e 142857 sejam especiais, não são únicos. Muitos outros já foram encontrados, embora não se saiba quantos existam ao todo. O que se sabe é que, entre todos, 142857 se destaca não apenas por ser o primeiro que normalmente encontramos, mas também por ser o único que não começa com zero. O próximo número cíclico que aparece é 0588235294117647, que é o resultado de dividir 1 por 17. Seus 16 dígitos comportam-se de maneira semelhante: ao multiplicá-los por qualquer número de 1 a 16, o produto é sempre uma rotação cíclica desses mesmos dígitos, apenas com um "carrossel" mais longo. E quando o multiplicamos por 17, o resultado é 9999999999999999 — isto é, 16 noves, assim como 142857 × 7 produz seis noves. Repare em algo que os caracteriza: a quantidade de dígitos que compõem um número cíclico é sempre um a menos que o número que o gera. O gerado pelo 7 tem 6 dígitos. O gerado pelo 17 tem 16 dígitos. Outra particularidade fundamental aparece quando observamos os números menores que 100 que geram números cíclicos: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97. Todos são números primos (apenas divisível por 1 e por si próprio). Embora nem todos os números primos produzam um número cíclico, todos os números cíclicos nascem de um primo. Para ter essa "capacidade de criar" números cíclicos, o número primo precisa cumprir uma propriedade especial: ao dividir 1 por ele, deve-se obter uma sequência repetitiva de dígitos cuja extensão é exatamente um a menos que o valor do número. Graças a isso, os dígitos podem girar em um carrossel perfeito, sem que nenhum desapareça ou se repita antes da hora. Esse é o segredo que garante que cada dígito tenha seu lugar e que o ciclo nunca se rompa. Até hoje, os números cíclicos não têm aplicações práticas diretas em engenharia, finanças ou ciência aplicada, mas já foram úteis em áreas como a teoria dos números, a criptografia teórica e a teoria da codificação.